纸上谈兵: 数学归纳法, 递归, 栈

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数学归纳法

数学归纳法(mathematical induction)是并就有数学证明法子,常用于证明命题(命题是对某个哪些的问题图片的描述)在自然数范围内成立。随着现代数学的发展,自然数范围内的证明实际上构成了一点一点领域(比如数学分析)的基础,全都数学归纳法对于整个数学体系至关重要。

数学归纳法并就有非常简单。肯能亲们要我证明某个命题对于自然数n都成立,如此:

第一步 证明命题对于n = 1成立。

第二步 假设命题对于n成立,n为任意自然数,证明在此假设下,命题对于n+1成立。

命题得证

想一下中间的另五个 步骤。它们实际上因为着分析,命题对于n = 1成立 -> 命题对于n = 2成立 -> 命题对于n = 3成立……直到无穷。怎么让,命题对于任意自然数都成立。这就好像多米诺骨牌,亲们选泽n的倒下会因为着n + 1的倒下,怎么让推倒第一块骨牌,就能保证任意骨牌的倒下。

亲们来看一下使用数学归纳法来证明高斯求和公式:

n为任意自然数。

(这俩 公式据说是高斯小学时想出来的。老师惩罚全班同学,需要算出1到80的累加,才能回家。于是高斯想出了中间的法子。天才就有被逼出来的么?)

亲们的命题是: 高斯求和公式对于任意自然数n都成立。

下面为数学归纳法的证明步骤:

第一步 n = 1,等式左边(1的累加)为1,右边(右边公式代入n=1)也为1,等式两边相等,等式成立,怎么让命题对于 n = 1 成立。

第二步 假设上述公式对于任意n成立, 即1到n的累加为n*(n+1)/2

    如此,对于n+1,等式的左边(从1到n+1的累加)等于n*(n+1)/2 + (n+1),即(n+1)*(n+2)/2

                  等式的右边的n用n+1代替,成为(n+1)*(n+2)/2

    等式两边相等,等式成立。怎么让,当假设命题对于n成立时,命题对于n+1成立。

怎么让,命题得证。

递归

递归(recursion)是计算机中的重要概念,它是指另五个 计算机应用应用程序调用其自身。为了保证计算机不陷入死循环,递归要求应用应用程序有另五个 才能达到的终止条件(base case)。比如下面的应用应用程序,是用于计算高斯求和公式:

/*
 * Gauss summation
 */

int f(n)
{
    if (n == 1) { 
        return 1;  // base case
    }
    else {
        return f(n-1) + n;  // induction
    }
}

在应用应用程序中规定了f(1)的值,以及f(n)和f(n-1)的关系。这正是数学归纳法思想的体现。要我得到f(n),需要计算f(n-1);要我f(n-1),需要计算f(n-2)……直到f(1)。肯能亲们肯能知道了f(1)的值,亲们就都需要填补前面所有的空缺,最终返回f(n)的值。

递归是数学归纳法在计算机中的应用应用程序实现。使用递归设计应用应用程序的已经 ,亲们设置base case,并假设亲们会获得n-1的结果,并实现n的结果。这就好像数学归纳法,亲们只关注初始和衔接,而需要关注具体的每一步。

递归是用栈(stack)数据行态实现的。正如亲们中间所说的,计算f(n),需要f(n-1);计算f(n-1),需要f(n-2)……。亲们在寻找到f(1)已经 ,会有一点空缺: f(n-1)的值哪些? f(n-2)的值是哪些? …… f(2)的值是哪些?f(1)的值是哪些? 亲们的第另五个 哪些的问题图片是f(n)是哪些,结果,这俩 哪些的问题图片引出下另五个 哪些的问题图片,再下另五个 哪些的问题图片…… 每个哪些的问题图片的解答都依赖于下另五个 哪些的问题图片,直到亲们找到第另五个 都需要回答的哪些的问题图片: f(1)的值是哪些?

亲们用栈来保存亲们在探索过程中的哪些的问题图片。C语言中,函数的调用肯能是用栈记录离场情境和返回地址。递归是函数对自身的调用,全都很自然的,递归用栈来保存亲们的“哪些的问题图片” 。

亲们假设栈向下增长。首先,亲们调用f(80),如此当执行到

return f(n-1) + n; 

f(80)暂停执行,并记录当前的情况,比如n的值,当前执行到的位置。已经 调用f(99),栈增加另五个 frame,直到调用f(98) ... 栈不断增长,直到f(1)。f(1)得到结果1,并返回给f(2)。f(1)栈frame删除,转移到f(2)frame情境中继续执行

return f(n-1) + n; 

怎么让返回给f(3) ... 直到f(99)返回给f(80),并执行

return f(n-1) + n; 

返回f(80)的值,得到结果。

上述过程是C编译器自动完成的。在实现递归算法时,也都需要自行手动实现栈。原本都需要得到更好的运行传输速率。

总结

数学归纳法

递归

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